Qué son los números racionales y cómo se representan

Los números racionales son una clase de números que se pueden expresar como una fracción, es decir, como una división de dos números enteros. En otras palabras, son números que pueden representarse en la forma a/b, donde a y b son números enteros y b no es igual a cero.

Por ejemplo, 1/2, 3/4 y -5/6 son ejemplos de números racionales, mientras que pi (π) y la raíz cuadrada de 2 (√2) no lo son, ya que no pueden ser expresados como una fracción de dos números enteros.

Los números racionales son importantes en matemáticas y en la vida cotidiana, ya que se utilizan para representar cantidades que pueden ser divididas en partes iguales. Por ejemplo, las fracciones se utilizan para representar la parte de una pizza que cada persona recibirá, la proporción de una receta de cocina, la cantidad de una medicina que se debe tomar, entre otros.

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Propiedades de los números racionales

Los números racionales tienen varias propiedades importantes que los hacen útiles en la matemática y en la vida cotidiana. Algunas de estas propiedades incluyen:

  • Cerradura: La suma, resta, multiplicación y división de dos números racionales también es un número racional.
  • Asociatividad: La suma y multiplicación de tres o más números racionales es independiente del orden en que se sumen o multipliquen.
  • Conmutatividad: La suma y multiplicación de dos números racionales es independiente del orden en que se sumen o multipliquen.
  • Existencia de la inversa: Cada número racional, excepto cero, tiene un inverso multiplicativo, es decir, un número racional que, al multiplicarlo por el número original, da como resultado 1.
  • Existencia del opuesto: Cada número racional tiene un opuesto aditivo, es decir, un número racional que, al sumarlo con el número original, da como resultado cero.

Notación de los números racionales

Los números racionales se representan en forma de fracción, en la que el número de arriba se llama numerador y el de abajo denominador. Por ejemplo, la fracción 3/5 representa el número racional tres quintos.

También se puede representar un número racional utilizando una barra horizontal sobre los números. Por ejemplo, el número racional 3/5 se puede representar como 0.6 o como 0.6666….

Operaciones con números racionales

Las operaciones matemáticas básicas con números racionales son la suma, la resta, la multiplicación y la división.

Suma y resta

Para sumar o restar dos números racionales, se deben encontrar un denominador común y luego sumar o restar los numeradores. Por ejemplo, para sumar 3/4 y 5/6, se deben encontrar denominadores comunes. El denominador común más pequeño es 12, ya que tanto 4 como 6 son divisibles por 12. Entonces, 3/4 se convierte en 9/12 y 5/6 se convierte en 10/12. Luego, se suman los numeradores y se mantiene el denominador común, lo que da como resultado 19/12.

Multiplicación

Para multiplicar dos números racionales, se deben multiplicar los numeradores y los denominadores por separado y luego simplificar la fracción resultante si es posible. Por ejemplo, para multiplicar 2/3 por 4/5, se multiplica 2 por 4 y se obtiene 8 como numerador, y se multiplica 3 por 5 y se obtiene 15 como denominador. La fracción resultante es 8/15.

División

Para dividir dos números racionales, se multiplica el primer número por el inverso del segundo número. El inverso de un número racional es simplemente el número racional con el numerador y el denominador intercambiados. Por ejemplo, para dividir 2/3 por 4/5, se multiplica 2/3 por 5/4. Se obtiene como resultado 10/12, que se puede simplificar dividiendo tanto el numerador como el denominador por 2, lo que da como resultado 5/6.

Representación decimal de los números racionales

Los números racionales también se pueden representar como números decimales, que son números que tienen una parte entera y una parte decimal. En algunos casos, la parte decimal es finita, lo que significa que tiene un número limitado de dígitos después del punto decimal. En otros casos, la parte decimal es infinita y periódica, lo que significa que tiene un patrón repetitivo de dígitos después del punto decimal.

Por ejemplo, la fracción 1/4 se puede representar como el número decimal 0.25, que tiene una parte decimal finita. La fracción 1/3, por otro lado, se puede representar como el número decimal 0.3333…, que tiene una parte decimal infinita y periódica.

Para convertir una fracción en un número decimal, se divide el numerador por el denominador utilizando la división de larga duración o utilizando una calculadora. Si la fracción se convierte en un número decimal infinito y periódico, se puede utilizar la notación de repetición para indicar el patrón de dígitos.

Ejemplo: 3/7 = 0.4285714285714286 (la secuencia de dígitos 285714 se repite indefinidamente)

Aplicaciones de los números racionales

Los números racionales tienen aplicaciones en muchos campos, incluyendo matemáticas, ciencia, ingeniería, finanzas y economía. Algunos ejemplos de aplicaciones de los números racionales incluyen:

  • Fracciones de una cantidad: Las fracciones se utilizan para representar la parte de una cantidad que se está considerando. Por ejemplo, si una pizza se divide en ocho partes iguales, cada parte es 1/8 de la pizza.
  • Proporciones: Las fracciones se utilizan para expresar proporciones entre diferentes cantidades. Por ejemplo, si se mezclan 2 tazas de harina y 1 taza de agua para hacer una masa de pan, la proporción de harina a agua es 2:1, lo que se puede expresar como la fracción 2/1.
  • Porcentajes: Los porcentajes se utilizan para expresar una fracción como una cantidad porcentual de 100. Por ejemplo, si 3 de cada 10 estudiantes en una clase son mujeres, la fracción de mujeres es 3/10, lo que se puede expresar como el porcentaje 30%.
  • Finanzas: Las fracciones se utilizan en finanzas para calcular intereses y pagos en préstamos y tarjetas de crédito. Por ejemplo, si se tiene una tarjeta de crédito con una tasa de interés del 18% anual, el interés mensual se calcula dividiendo la tasa anual por 12. El interés mensual en este caso es del 1.5% (18% dividido entre 12), lo que significa que si se tiene un saldo de $1000 en la tarjeta, se cargará $15 en intereses cada mes.
  • Probabilidad: Las fracciones se utilizan en probabilidades para representar la relación entre los resultados favorables y los resultados posibles en un evento. Por ejemplo, si se tira un dado de seis caras, la probabilidad de obtener un cuatro es de 1/6, ya que hay un resultado favorable (obtener un cuatro) entre seis resultados posibles (obtener cualquier número del uno al seis).
  • Geometría: Las fracciones se utilizan en geometría para representar partes de una figura geométrica. Por ejemplo, si se tiene un círculo dividido en cuatro partes iguales, cada parte se puede representar como 1/4 del círculo.

Los números racionales son una parte importante de las matemáticas y tienen aplicaciones en una amplia variedad de campos. Son números que se pueden expresar como una fracción con un numerador y un denominador, y se pueden utilizar para representar partes de una cantidad, proporciones, porcentajes, intereses y probabilidades, entre otros conceptos. Es importante comprender las operaciones básicas con números racionales, incluyendo la suma, resta, multiplicación y división, y saber cómo representarlos como números decimales.

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